Adhérence

Formulaire de report

Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

• c'est aussi l'intersection de tous les fermés contenant \(A\)
• si \(x\in\overline A\), alors on dit que \(x\) est adhérent à \(A\)
• \(A\) est fermé si et seulement si \(A=\overline A\)
• \(A\subset B\implies\) \(\overline A\subset\overline B\)
• \(\overline{A^C}=\) \({(\mathring A})^C\)
• relation avec les unions : $$\bigcup_{i\in I}\overline{A_i}\subset\overline{\bigcup_{i\in I}A_i}\quad\text{ et }\quad\overline{A\cup B}=\overline A\cup\overline B$$ avec égalité si \(I\) est fini
• relation avec les intersections : $$\overline{\bigcap_{i\in I}A_i}\subset\bigcap_{i\in I}\overline{A_i}$$
• caractérisation : \(x\in\overline A\iff\) \(\forall V\in\mathcal V(x),V\cap A\ne\varnothing\) (l'adhérence de \(A\) est l'ensemble des points dont les voisinages rencontrent \(A\))
• \(x\in\overline A\impliedby\) il existe une suite de \((x_n)_n\in A^{\Bbb N}\) qui Converge vers \(x\)
    
• on a la réciproque dans une topologie à Base de voisinages dénombrable uniquement (caractérisation séquentielle)

Questions de cours

Démontrer la caractérisation : $$x\in\overline A\iff\forall V\in\mathcal V(x),V\cap A\ne\varnothing$$

On utilise la formule du complémentaire de l'adhérence pour utiliser la caractérisation de l'intérieur.

On se ramène à un voisinage ouvert.

Conclusion en passant au complémentaire.

Montrer que $$X\setminus \mathring A=\overline{X\setminus A}$$

Pour \(A\subset X\), on utilise la définition de l'intérieur (union de tous les fermés contenus dans \(A\)).

Passage au complémentaire pour avoir des fermés.

Application de la définition de l'adhérence.

Démonstration de la caractérisation séquentielle de l'adhérence

On va procéder par double-inclusion.

\(\overline A\subset\tilde A\) : Quitte à passer à l'intersection, on considère une suite de voisinages décroissants.

Par caractérisation, les voisinages et \(A\) ne sont pas disjoints.

On peut donc choisir une suite arbitraire de points de \(W_n\cap A\), et on a la convergence de cette suite.

\(\tilde A\subset\overline A\) : Par convergence, tout voisinage contient des points de la suite à partir d'un certain point, et puisque la suite est dans \(A\), on a la caractérisation de l'adhérence.